الرئيسية
أقسام المكتبة
المؤلفين
القرآن
البحث 📚
المصادر:
(1)
Noms des vete-: B.P.A. Dozy ments. ص 107.
(2)
Modern Egyptians: Lane، ج 1، ص 41.
(3)
Travels: Burckhards ج 1، ص 335.
(4)
Essai: Cte de Chalroti في Description de l'Egypte ج 18، ص 113.
[إيوار Cl. Huarl]
الجبر
والمقابلة: هو الاسم الذي أطلقته كتب الحساب العربية القديمة على نظرية أو طريقة حل معادلات الدرجتين الأول والثانية. ولم يتفق كتاّب العرب تمام الاتفاق على معنى هذين المصطلحين. ولكن معظمهم على التعريف التالي الذي أجمله بهاء الدين العاملى في كتابه "خلاصة الحساب"(طبعة بالعربية والألمانية، برلين سنة 1483 م، ص 41 - 42 من النص العربي، 41 من الترجمة): "الجبر أن تفرض المجهول شيئًا، وتعمل ما تضمنه السؤال سالكًا على هذا المنوال لينتهى إلى المعادلة، والطرف ذو الاستثناء يكمل ويزاد مثل ذلك على الآخر. والأجناس المتبتسة المتساوية في الطرفين تسقط منهما وهو المقابلة" مثال ذلك: إذا استعملنا الجبر فإننا نحصل من:
5 س 2 - 6 س+ 2 = 4 س 2 +7 على
5 س 2+2 = 4 س 2+6 س+7
ونحصل من هذا بالمقابلة على:
س 2 = 6 س + 5.
والعملية الثانية واضحة في نظرنا. وإذا شئنا أن نفهم الأولى وجب علينا أن نذكر أن العرب كانوا -على خلاف الهندوس- لا يدخلون الحدود السالبة في معادلة ما. فقد كانت فكرة السالب -حتى ذلك الوقت- غريبة عليهم. ولذلك فإنه إذا وجد في معادلة حدود سالبة كانت هذه المعادلة غير منتظمة ناقصة، ومن ثم وجب أن ترتب ثم تجبر. على
أن المعادلة التي فيها معامل غير صحيح في الحد الأعلى لا تكون أيضًا منتظمة أو مرتبة ترتيبًا صحيحًا يهيئها للحل ومن ثم وجب أيضًا إبعادها ولذلك فإن المعادلة:
1/ 3 س 2+2 س = 9.
ينبغي أن تضغف ثلاثًا كى يكون الحد الأعلى س 2 فحسب. ومن ثم تصبح:
س 2 + 6 س = 27.
وقد أصاب أبو بكر الكرخى المتوفى عام 1000 كبد الحقيقة بقوله إن هذه العملية هي أيضًا من الجبر (الكافي في الحساب لأبي بكر محمد بن الحسين الكرخى، ترجمة هوشيم A. Hochheim هال، سنة 1878 - 1880، ج 3، ص 13). أما في الكتب المتاخرة مثل كتاب الحساب لأبي زكريا الحصّار (قبل عام 1200 انظر Bibl.: Suter . Math، ج 2 السلسلة الثالثة، سنة 1901، ص 12 - 40) وكتب تقى الدين الحنبلي (قبل عام 1410) وابن الهائم المتوفى عام 1412 فاننا نجد إلى جانب المصطلح "الجبر" بمعناه السالف كلمة الحط بمعنى أننا إذا طبقنا الحط على المعادلة الآتية مثلًا:
3 س 2 + 2 س = 5.
أي قسمناها على ثلاثة لأصبحت:
س 2+2/ 3 س = 3/ 5.
على أن كاراده فو (Bibl. Mathein. ج 11، السلسلة الثانية، سنة 1897 ص 1 - 2) قد أخطأ عندما ظن أن الحط اسم قديم للعملية الثانية وأنه استبدل به في الوقت المناسب المقابلة. ذلك أن الحط لا صلة له بالمقابلة، وإنما هو توسع بسيط في فكرة الجبر لا لزوم له على الإطلاق. وبمرور الزمن بطل استعمال المصطلح الثاني، أي المقابلة، تدريجًا، وانصرف عنه أصحاب الحساب العرب أنفسهم على خلاف ما ذهب إليه نسلمان (Algebra der: Nesselmann Greicheii، برلين سنة 1842. ص 45) فنجد أبا زكريا الحصّار لا يستعمل في رسالته في الحساب إلا كلمة الجبر.
وانتقل هذا المصطلح من العرب إلى الغرب: ففي مصنف ليوناردو الييزى (Liber Abaci: Leonardo de Pisai. سنة 1202) الكلمات Algebra et Almucabata بنصها من غير ترجمة، ولكنها شفعت بترجمة هي: Restauratio et Oppositio وكاناتشى الفلورنسى Canacci الذي عاش في القرن الرابع عشر الميلادي أول كاتب اقتصر على استعمال كلمة الجبر Algebra . ثم إننا نجد أن كلمة المقابلة Almucabala قد وردت في كتاب الجبر الذي ألفه جوساون Gosselin (1577 م). ويقال إن كاثاتشى أول من قال إن كلمة الجبر Algebra مشتقة من اسم العالم العربي جابر. ولا نستطيع الآن أن نتحقق أكان يقصد بذلك جابر صاحب الكيمياء أم الفلكى الأندلسى الذي يعرف بالاسم نفسه. أما ميخال ستيفل Michal Stifel فيستعمل أيضًا في كتابه Arithmetica Integra المصطلح regu- la Gebri .
على أن علماء الأوربيين سموا هذا العلم بأسماء جديدة. فنشأ في إيطاليا المصطلحان ars rei et census j ars magna [وهما ترجمة شيء (س) ومال (س 2)] ثم استعمل بعد ذلك التعبيران الإيطاليان المقابلان لهما: maggiore arte و art (regole) della cosa وانتقل التعبير الأخير إلى الألمانية. وقد عرف الجبر أو كاد في القرنين السادس عشر والسابع عشر بـ Regel Coss أو بمجرد die Coss. وتواتر ذلك.
وأقدم ما عرفنا من مؤلفات العرب في الجبر هو كتاب محمد بن موسى الخوارزمى الذي عاش في عهد المأمون (طبعة Rosen. بالعربية والإنكليزية لندن سنة 1831) لم يشرح معنى المصطلحين الجبر والمقابلة في هذا الكتاب، ومن ثم جاز لنا القول بأنهما كانا معروفين بالفعل، ونستدل من ذلك على أنه كانت قبله كتب في الجبر دون شك، ولم نتحقق بعد، هل ابتدع العرب هذين المصطلحين أو أخذوهما عن الكتب اليونانية أو الهندوسية. ومهما يكن من شيء فقد استعملهما ديوفنطس في حل معادلة وردت في كتابه في الحساب، وهو يصفهما بما يماثل وصفهما بالعربية ولكنه لم يسمهما.
ومع ذلك يبعد أن يكون ديوفنطس قد نقل إلى العربية في أيام المامون، إذ يقال في المصادر العربية أن أول من ترجمه هو قسطا بن لوقا المتوفى سنة 910 م.
المصادر:
تراجع في شأن الجبر عند العرب المصادر الآتية إلى جانب ما ورد في صلب المادة:
(1)
Extrait du Fkhri، traite: F. Woepcke d'Algebre par Abou Bekr Mohammed b. L A 1 hacan Alkarlhi باريس سنة 1853.
(2)
L'Algebre d'Omar Alk-: F. Woepcke -hayyami، Poubliee، traduite `et ac -compagne d'extraits de manuscrits un edits سنة 1851.
(3)
Traduction du Traite: F. Woepke -d'Aritmetique d'Aboul Hacan li b. Mo hammed AlkalFadi في pontif de Nuovi، Lincei المجلد 12، سنة 1850، والمقتطفات، رومة سنة 1859.
(4)
كتاب الجبر المجهول المؤلف الذي نشره Boncompagni .B في الرسالة الموسومة بـ Della vita e dell Opere die - Pontid) Gherardo Crem؛ Atti deli'aecad nnese etc. de'Nuovi Lincei (ج 4، سنة 1851 و Estrato رومة سنة 1851.
(5)
Varlesungen ueber Gesc-: Cantor .gichte de Mathem ج 1، الطبعة الثانية، سنة 1894 م، ص 676 - 768.
[سوتر H. Suter]
+ الجبر والمقابلة: هما في الأصل طريقتان لتحويل المعادلات، ثم أصبحا من بعد اسما يطلق على نظرية المعادلات (الجبر).
وأقدم مصنف عربي في الجبر ألفه، حوالي عام 850 م، محمد بن موسى الخوارزمى، وهو يستخدم، على نحو ملائم هاتين الطويقتين لرد بعض المسمائل إلى صور صحيحة، ومّد حقق ف. روزن F.Rosen مصنف الخوارزمى ونشره مع ترجمة إنكليزية قام بها، في لندن عام 1831. والحاجة ماسة جدًّا إلى مراجعة نص روزن (انظر The Mishnat: S.Gandz ، في. Quellen u Stud.Z. Gesch. d. Math، Quel-: Abt. A. len، ج 2، سنة 1932، ص 61 وما بعدها) والترجمة تعسفيه فيها خطأ
كثير، ولا يرجع هذا على آية إلى أن روزن يحاول أن يطوع المصطلحات المتنوعة لنمط ثابت سبق تصوره. وكانت هذه الطبعة مصدرلم لأخطاء وزلات لا حصر لها وردت في الكتب القديمة. وكان رسكا J. Rucka هو الذي زودنا بأول نقد تحليلى للمسألة Zur) -aeltesten arabischen Algebra and Re (chenkunst، في Kl. SB Hei-: Phil.-hist delberg، سنة 1917). ولم يدلل أي كاتب آخر بعد على خطأ شرحه للجبر والمقابلة (ص -5 - 14) بصفة خاصة. ففي المسألة الأولى (ص 25 من النص العربي)، عدَل "مال" واحد 40 شيئًا إلا أربعة أموال) ويقول الخوارزمى أجبره (لـ 40 شيئًا إلا أربعة أموال) بأربعة أموال وأضفها إلى المال الواحد، ومن ثم فإن الجبر يعني حذف مقادير مسبوقة بلفظ "إلا" أطلق عليه فيما بعد لفظ الاستثناء)، بإضافة هذه المقادير حسب المعنى المالوف "رد الشيء لأصله"، وبخاصة لاجبر المبلغ الناقص" (انظر أمثلة على ذلك في Suppl.: Dozy). وفي المسألة الخامسة (ص 28 من النصر العربي) عدل 50 درهما ومال واحد 29 درهما و 10 "أشياء"(قابل بها إلى 29 درهما)، وهذا معناه أن تطرح تسعة وعشرين من خمسين. والمقابلة هي العملية التي تقابل بها بين مقدارين، لتتبين مدى التشابه أو الاختلاف بينهما. ويعد "الإكمال" من هذا النوع من العمليات أيضًا، ومعناه مضاعفة المقادير الواردة لتحويل معامل غير صحيح إلى صحيح" ويرى الكرَجى المتوفى حوالي عام 1030 م (كان الاسم حتى ذلك الوقت يرسم خطا "الكرْكجى" انظر. Levi della Vida Due nuove op: G. era إلخ في المصادر)، أنها حالة خاصة في الجبر. و"الرد" طبقا لذلك يشير إلى عملية قسمة يرد بها معامل صحيح إلى الواحد الصحيح. وتنتج هنا في آخر الأمر صور صحيحة، لا ترتبط فيها المصطلحات المختلفة بعضها ببعض، ويتحدد معامل المقدار بواحد صحيح.
ونظرية كاندز Math .) S.Gandz Monthly عدد 33، سنة 1926 ص 437 - 440؛ وقد أقرها Studien zur Geschichte: O.Neugebauer . der antiken Algebra i، Quellen u. Stud. z
Gesch. d. Math. Abt B: Stud عدد 2، سنة 1933، ص 1 - 27، 1 وما بعدها) الذي يشتق كلمة "جبر" من الكلمة الأشورية "كبرو gabru" ويرى أن كلمة "المقابلة" ترجمة لذلك اللفظ، تعجز عن شرح الاستعمال الخاص لكلمة "جَبَر"، والحق أنه من المستبعد، فيما يبدو، أن يبقى في اللغة العربية مصطلح مفرد، وجد في الرياضيات البابلية، ولم يثبت وجوده في اليونانية، وكما أوضح رسكا Ruska (المصدر المذكور، ص 11) فإن العمليتين الرئيسيتين اللتين تحدث عنهما الخوارزمى قد ورد ذكرهما في كتاب الأرثماطيقا الذي ألفه ديوفنطس Diophantus (الكتاب الأول، طبعة ب. تانرى P.Tannery. مجلد 1، ليبسك سنة 1839، ص 14) أي في هاتين العبارتين باليونانية (1) يروثيناى تاليبونتا إيذى أن أمفوتيرويس تو يس ميريسى. (2) أفيلين تا أو مايا آبو تون اومويون إيوس آن اخاتيرو تون اومويون الذوس ختاليفنى. ومن الواضح أن العملية الأخيرة هي التي يعبر عنها بلفظ "المقابلة"، أما العملية المذكورة أولًا فإن الخوارزمى يستعمل للتعبير عنها كلمة "الجبر" التي توحى بالمعنى كل الإيحاء، والمستعارة في الأصل من المصطلحات التي يستخدمها الجراح، حيث تعنى إصلاح عظم مكسور أو طرف انتقل من موضعه، ويلاحظ أن كلمة algebrista الأسيانية الحديثة لا تزال تشير إلى "مجبر العظام" كما تشير إلى العالم بالجبر (انظر أيضًا. M Steinschneider ، في. Archiv. Pathology ، Anatomie ص 124، سنة 1891، وص 125 وما بعدها). أما الأنواع المختلفة من المقادير التي ورد ذكرها في رسالة الخوارزمى وبقيت طوال القرون، فإنها في الأغلب الأعم مستعارة من عبارات اصطلاحية تجارية. ومن ثم نجد في الأمثلة التي أوردها الخوارزمى أن العدد المفرد (الذي سمى فيما بعد العدد المطلق) يسمى درهم وباللاتينية dragma، وهذا يصدق أيضًا على المال، واسمه باللاتينية " census" وعلى الشيء، واسمه باللاتينية " res"، وقد ورد بالفعل في القرآن الكريم، سورة الأعراف آية 83 وفي مواضع متفرقة، ومعناها المملوكات ودخلت كلمة "مال" في المصطلح للدلالة على المقادير العامة
للنظرية، ويستخدم مصطلح "شيء" بالطريقة نفسهما، للدلالة على مقدار مجهول في مسائل الدرجة الأولى. وإلى جانب هذا فإنه يستخدم تعبيرلم عاما عن المقادير المساعدة وكثيرا ما يحل محل الجذر، واسمه باللاتينية - ra dix أي المال (وهو ليس القوة الأولى للمقدار المجهول، كما يذهب إلى دلك روزون Rosen) وفي مسائل الدرجة الثانية نجد أن المقدار المطلوب البحث عنه أصلا هو المال، ولا يستخدم الجذر إلا وسيلة لتحديده انظر المصدر المذكور، ص 47 - 70 - (وقد أوضح رسكا (Ruska، ص 60) أن المال والشئ والدرهم تطابق على التوالى المطلحات الهندية ذانم ويافَتْ وتافتْ وروبه أو روبكه. وفي النظرية، بالمعنى الصحيح للكلمة، والتي لم يتوسع فيها إلا من أجل المعادلات الصحيحة، يمثّل المال بمساحة مربع، والجذر بمساحة مستطيل، طوله يساوى طول ضلع المربع وعرضه يساوى الموحدة. والصحة العامة للقواعد الخاصة بحل المعادلات تثبت بوضوح العلاقات المشابهة بين مقادير هندسية غير محددة. ومهما يكن من شيء فإنه لا يستبعد من الأمثلة العددية القيم السلبية فحسب بل تستبعد أيضًا القيم الصماء. وقد ألقت النتائج التي انتهى إليها الباحثون في الرياضيات البابلية في الخمسين السنة الأخيرة ضوءًا على المسألة التي حيرت العقول، وهي المصادر التي استقى منها الخوارزمى علم الجبر وعلاقاته بالمؤلفات اليونانية والعبرية والهندية (استعرض رسكا Ruska المؤلفات الأقدم في المصدر المذكور، ص 23 - 36 وانظر أيضًا، The Sources: Gandz The Mishnat: Gandz of al-Khowarizmi's algebra في Osiris سنة - 1936، ص 277، Neu- gebauer: المصدر المذكور Vorlesungen j -ueber Geschichte der antiken ma them I Band: : atischen Wissenschaften برلين سنة 1934، ص 175 وما بعدها).
ويستمد الخوارزمى، من العمليتين اللتين تحدثنا عنهما، عنوان كتابه المختصر في حساب الجبر والقابلة (انظر ص 2، 10 من النص العربي) وكان له تأثير كبير أسهم في تقديم
النظرية باسم الجبر والمقابلة. ويظهر الاسم "الجبريون" في مؤلفات إخوان الصفاء القرن الرابع الهجرى: العاشر الميلادي، الرسائل، طبعة بومباى سنة 1303 - 1306 ، ج 1، ص 32) للدلالة على ممثلى هذا الفرع من الرياضيات. (وبالنسبة لصحة هذه الفقرة انظر رسكا Ruska: المصدر المذكور، ص 13) ويستخدم ابن الهيثم سنة 965 أو 966 هـ = 1038 م أو بعد ذلك اللفظ نفسه (انظر كتاب أبي أصيبعة، طبعة A.Mueller. ص 93 و 321) في عام 1145 م ترجم روبرت التشسترى Robert of Chester الجزء الأول من مصنف الخوارزمى (ص 1 - 50، 90 من النص العربي) بعنوان - Liber algebrae al mucabla، طبعة Karpinski C. L. Univ. of II Michigan Studies نيويورك سنة 1915) وقام كيرار القرمونى Gerard Gremona) حوالي عام 1114 - 1187 م) بترجمة الجزء الأول مرة ثانية، بعنوان De jebra et almucabala (طبعة: G.Libri Histoire des Science Mathematiques ج 1، باريس سنة 1838، ص 253 - 297) وفي عام 1202 نجد أن ليونارد البيزى Leonard of Pisa يستخدم في كتاب abaci (طبعة B.Boncompagni، مجلد 1، رومة سنة 1857، ص 406) عبارة Compositum elgebra et elmuchabale. ويقول سوتر Suter في صدر هذه المادة أن كاناتشى الفلورنسى - Canacci of Flor ence) القرن الرابع عشر) كان أول كاتب غربي استخدم مصطلح algebra، الذي اعتقد خطأ أنه مشتق من اسم جابر Cipher) جابر الفلكى أم الكيميائى؟ )، وأغفل ذكر كلمة - al a mucabala . ويقال إن كوسلان (سنة 1577) كان اخر من عرف بأنه استخدم كلمة al mucahala . وقد اشتق المصطلح arc rei et census باللاتينية، و (arte della cosa (regola بالإيطالية، و. Regel Coss بالألمانية من مصطلحى شيء ومال.
ومن العالم الإسلامي خرج أبو كامل شجاع، بين عامي 850 و 956 م، فكان له بدوره أثر كبير قى تطور الجبر الغربي، إذ أسهم إسهامًا قيمًا في النظرية، التي حولها إلى أداة قوية في مجال البحث الهندسى، تقوم على الأسس التي وصفها الخوارزمى، وحل سلسلة المعادلات التي تبلغ فيها القوى
خمسة مقادير مجهولة تمثلها أنواع من العملة. وتناول بالبحث مسائل من درجة اعلى، ولكنه لم يتعرض إلا لتلك المسائل التي يمكن ردها إلى معادلات تربيعية. ويسمح هنا بمقادير صماء باعتبارها حلولا. ويحتوى مصنفه على الخطوات الأولى التي تؤدى إلى نظرية المتساويات الجبرية. وتناول أيضًا مسائل التحليل غير المحدد وانتهى فيها إلى حلول بأعداد صحيحة، تبين وجود علاقة وثيقة بينها وبين مسائل مشابهة درست في الهند.
وتعلم الجبريون طرائق جديدة من ترجمات المصنفات اليونانية في الرياضيات. وقد بحث أبو عبد الله الحسن بن المحمد بن حَمْله (؟ ) المعروف بابن البغدادي نظرية المقَادير المشتركة والمتباينة" وقد نشر في الرسائل المتفرقة في الهيئة (دائرة المعارف العثمانية، حيدرآباد سنة 1366 هـ = 1947 م)؛ وذكره البيرونى في كتابه: "مقالة في راشيكات الهند"، الواردة في رسائله (المصدر المذكور سنة 1367 هـ = 1948 م، ص 7 و 11 وما بعدها) في قائمة مرتبة حسب تسلسل الزمن التاريخي، وذلك بين علماء آخرين من علماء الرياضيات. ولا شك أنه ينتمى إلى النصف الأول من القرن العاشر الهجرى. ويذكر عمر الخيام في مقدمة كتابه في الجبر (Algebra، طبعة F.Woepcke، باريس سنة 1851، ص 2 من النص العربي)، أن محمد بن عيسى أبا عبد الله الماهانى، عاش حوالي عام 860 م حاول أن يثبت فرض أرشميدس (الكرة والأسطوانة. de sphaera et cyl، ج 2، ص 4، طبعة J.L.Heiberg، مجلد 1، ليبسك سنة 1910، ص 192)، وهكذا بدأ مرحلة من التطور جديدة وأثبت أن الفرض يساوى حل معادلة خاصة من الدرجة الثالثة (س 3 +أ = ب س 2) ولكنه حاول عبثا أن يحلها. ويقول عمر الخيام أن أبا جعفر الخازن (المتوفى عام 961 أو 971 م) كان أول عالم توصل إلى حل المعادلة مستعينا بنظرية القطاعات المخروطية؛ وتلت ذلك حلول أخرى، مثل الحلول التي قدمها سهل الدين الكوهى عاش حوالي عام 988 م وابن الهيثم (انظر F.Woepcke المصدر المذكور، ص 91 - 114) ومهما يكن من أمر فإن نصير الدين الطوسى
يقول في صدر طبعته لكتاب الكرة والأسطوانة de sphaera (الرسائل، ج 2، حيدرآباد سنة 1359 هـ، دائرة المعارف العثمانية، ص 2 وما بعدها) أنه كانت بين يديه ترجمة كاملة بقلم إسحاق بن حنين، عن شرح أوطوقيوس Eutocius،، وفي التعليق عليه (ج 2، ص 4) ويسوق (ص 89، 23 - 104) الأوصاف الكاملة، التي حصل عليها علماء الرياضيات اليونان، والخاصة بتطبيق نظرية القطاعات المخروطية؛ (انظر أيضًا Woepcke، المصدر المذكور، ص 110). وعلى اية حال فإن مصنف أيلونيوس Apollonius عن القطاعات المخروطية أصبح الأداة العامة التي يستخدمها الجبريون. على أن النظرية الجديدة كانت الأساس لرد كثير من المسائل الهندسية إلى أعمال بوساطة قطاعات مخروطية. وهكذا استطاع ابن الهيثم أن يحل مسألة من الدرجة الرابعة وهي المسماة "مسألة الخازن nAlhazen انظر Die al-: P.Bode Jahresber. hazensche Spiegelauf / gabe d. physik. Vereins zu Frankfurt سنة 1891 - 1892 فرانكفورت- على الماين سنة 1893، ص 63 - 107) وتناول، علاوة على هذا مسألة خاصة من الدرجة الخامسة، اى تحديد المقادير الأربعة للمجهولات س، ص، ع، إذا وضعت بين مقدارين مذكورين أوب بحيث تكون النسبة أ: س = س: ص = ص: ع- ع: و = و: ب (انظر عمر الخيام، المرجع المذكور، وفي النص العربي ص 44 وما بعدها، وابن أبي أصيبعة، المصدر المذكور ص 98 و 104) وانتهى الحل في مصنف عمر الخيام من حوالي عام 429 - 439 هـ = 1038 - 1048 م إلى عام 517 هـ = 1123 - 1124 م الذي تناول بالبحث جميع المعادلات الصحيحة حتى الدرجة الثالثة بطريقة منهجية للغاية. وتدل المصطلحات الآتية في الوقت الحاضر وهي: جذر أو شيء أو ضلع (وبخاصة في حالات المعادلات من الدرجة الثالثة) ومال أو مربع (وبخاصة في البراهين الهندسية) وكعب أو مكعب على القوة الأولى والثانية والثالثة للمقدار المجهول على التوالى. وقد ميز عمر الخيام بوضوح بين البراهين الجبرية والهندسية، التي
رأى أن كلا منهما ضرورى ولكنه يقول إنه لم يستطع أن يقدم براهين جبرية لحلول المعادلات من الدرجة الثالثة. وحاول أن يحدد شروط وجود حلول في كل حاله، ومهما يكن من آمر فإنه لم يستطع أن يستخدم فرعى الشكل المخروطى، ومن هنا أخطأه التوفيق أحيانا في الوصول إلى أحد الحلول الإيجابية. ولا تزال الحلول السلبية مستبعدة. والطريقة المستخدمة لا تعين كثيرًا في الحسابات العددية التي اختارها البيرونى في كتابه "رسالة في استخراج الأوتار في الدائرة"، في مجموعة الرسائل التي ذكرت آنفا، ص 224.
المصادر:
فيما يختص بالمعلومات العامة انظر:
(1)
Introduction to the his-: G.Sarton tory of science بالتيمور سنة 1927 - 1947 ويضم مقالات عن المؤلفين المذكورين مع تعليقات قيمة على المصادر.
(2)
Zur Gerchichte der I. Tropfke -quadratischen Gleichungen Mathematik er-Vereining سنة 1933 ص 98 - 107، سنة 1934، ص 26 - 47 و 95 - 119.
(3)
Algebra from: H.T.Colebrooke the .Sanscrit ، لندن سنة 1817.
(4)
Die Al-: G.H.F. Nesselmann gebra der Griecher برلين سنة 1842.
(5)
Zur islamischen Res-: P.Luckey chenkunst and Algebra في Foschungen und Fund Fortschritee، ص 24 سنة 1948، ص 199 - 204.
(6)
Isoperimetric Prob-: S.Gandz -lems and the origin of the quadratic equa tions في Isis عدد 32، سنة 1947، ص 103 - 115.
(7)
الكاتب نفسه Indeterminate tanalysis in Babylonian mathematics في Osiris عدد 8 سنة 1949، ص 12 - 40.
(8)
الكاتب نفسه the origin and development of the quadratic equations في Osiris ، ، عدد 3، سنة 1932 ص 405 - 557.
(9)
الكاتب نفسه: the algebra of in- heritance.
(10)
في Osiris. عدد 5، سنة 1938، ص 319 - 91.
(11)
Die Erb-: H.Wieleitner -teilunRsaufxaben bei M.B. Musa Alch . warasmi في Zeitschr. mach nature Un- e terrirht عدد 53، سنة 1922 ص 57 - 67.
(12)
Diss. Die Algebra: J.Weinber .، des Abue SoRo ben Aslam ميونيخ سنة 1935.
(13)
F. Woepcke: Extrait du Fakhri traite.d'algebre par Al-Karkhi، باريس سنة 1853.
(14)
Due nuove: G.Levi della Vida -opere del matematico al-Karagi (al (Karki في، RSO عدد 14، ص 249 - 264.
(15)
The: W. Arafat jH.J.J. Winter Umar Khayyam' algebra of في ، JRASB L Science عدد 16، سنة.1950، ص 27 - 78.
(16)
Notes on Omar: R.C.Achiblad Khayyam في Pi Mu Epsilon Joun عدد 1، سنة 1953، ص 351 - 358.
(17)
Omar Khayy-: R.C. Archibald am، في- Mary Mellish Achibald Memori aI Library رقم 10.
(18)
Omar . A.P.Youshkevish، 'Khayyam and his "algebra) باللغة الروسية)، - A.K.Nauk SSSR Institut is' torli estestvoznaniya، Trudi: عدد 2، ص 99 - 453.
(19)
Compendio de al-: Abenbeder t Rebra حقق النص العربي وقام بالترجمة J.A. Sanchez، مدرير سنة 1916.
(20)
Xlyuch Aritmetiki: AI - Kashi ترجمة A. Rozenfeld .B، موسكو سنة 1956.
(21)
محمد بهاء الدين بن الحسين: Essenz der Rechenkunst طبعة G. H.F. ، Nesslmasnn برلين سنة 1834.
آدم [و. هارتز J.W. Hartner]