يتصل فى الغالب بكتب الحساب العملى الطرق المتبعة فى اختبار - موجز دائرة المعارف الإسلامية - جـ ١٢

يتصل فى الغالب بكتب الحساب العملى الطرق المتبعة فى اختبار صحة العمليات الحسابية (أى اختبار العمليات باطراح العمليات الحسابية، أى اختبار العمليات باطراح السبعات والتسعات) وجميع المتواليات الحسابية والهندسية وجميع الأرقام الخاصة بالجذور التربيعية والتكعيبية ومربع مربع الكمية، وكذلك النظريات الخاصة بالأرقام الكاملة والنسبية الخ

…

ولا نستطيع هنا أن ندخل فى أية تفصيلات عن بعض أفرع الحساب مثل حساب الخطأين (- Regula duorum falsor um) وحساب الدرهم والدينار وغير ذلك، وهى على كل حال أدخل فى الجبر منها فى الحساب. وبقى علينا أن نذكر أن العرب كانت لديهم طريقة للحساب باليد والأصابع أو الهواء (حساب اليد أو الهواء) إلى جانب الحساب على الورق أو لوحة الغبار. وثمة طائفة من المخطوطات عن هذه الطريقة فى الحساب ما زالت باقية (انظر Suter: Nachtraege die Mathem، u Astronum فى - Abhandlungen z. Gesch. d. Mathem. Wis sensc d. Araber جـ 10، ص 203؛ جـ 14، ص 181، وانظر مجلة المشرق، جـ 3، سنة 1900، ص 171 - 174).

‌

‌المصادر:

(1)

Zur Gesch. d.: H.H. Hankel Math. in Altertum u mittelater ليبسك سنة 1874، ص 223 - 270.

(2)

Vorlesungen uber: M. Cantor Gesch. de Math. جـ 1، ليبسك سنة 1894. الطبعة الثالثة سنة 1907، جـ 7 Araber: .

(3)

F. Woepcke فى المجلة الأسيوية، سنة 1852، جـ 2، سنة 1854، وسنة 1863 إلخ.

(4)

Propaedeutik der Ara-: Dieterici ber ص 1 - 22.

(5)

مفاتيح العلوم، طبعة فان فلوتن ص 184 - 201.

الشنتناوى [سوتر H. Suter]

+ الحساب علم: أى الأريثماطيقى: ويقسم الفارابى فى كتابه "احصاء العلوم (طبعة A.L. Palencia، مدريد سنة

1953) علم الحساب (علوم التعاليم) إلى سبعة فروع كبيرة على رأسها علم العدد. ويقول الفارابى إنه يوجد فى الحق علمان للعدد، علم عملى والآخر نظرى، وهو يستوحى بعض فقرات من أفلاطون فيشرح العلم الأول بأنه يبحث فى الأعداد من حيث هى أعداد لمعدودات مثل رجال وخيول ودنانير، أما العلم الآخر، وهو الذى يطلق عليه بحق لفظ علم، فإنه يبحث فى الأعداد مجردة من الأشياء المحسوسة.

ويضيف الفارابى إلى ذلك أن العلم النظرى للعدد يختص بالطبائع الكامنة فى الأعداد بأعيانها سواء كانت أزواجا أو أفرادا، كما يختص بالطبائع التى تكتسبها الأعداد حين يضاف بعضها إلى بعض أو يتركب على بعض أو ينفصل بعضها من بعض.

على أننا نجد بصفة عامة فى كتب الأريثماطيقى العربية تفرقة أخرى من أصل يونانى أيضًا، بين "علم العدد" و"علم الحساب" تضاهى التفرقة بين المفهومين الإغريقيين آلو أريثمتيكى تكنى وآلوجيوتيكى تكنى. والموضوعات التى عولجت فى علم العدد هى نفس موضوعات الأبواب السابع والثامن والتاسع من كتاب الأصول لإقليدس (ترجم أول ما ترجم فى عهد هارون الرشيد على يد الحجاج بن يوسف بن مطر) ومقدمة الأريثماطيقى لنيقوماخوس المنتسب إلى كيراسا. وقد نهج الكتاب العرب بصفة عامة نهج أسلافهم الإغريق فرأوا أن المقادير التخيلية، وهى موضوع الفصل العاشر من كتاب الأصول، تدخل فى الهندسة أكثر من دخولها فى الحساب، ولو أن بعضهم، مثل عمر الخيام، قد اتخذ خطوات لها مغزاها نحو اعتبار المقادير التخيلية أعدادًا Ges-: A.P.Yuschkewitsch chichte der Mathematik in Mittelater ليبسك سنة 1964، ص 248 وما بعدها). أما علم الحساب فيختص أساسا بالعمليات الحسابية الجوهرية وعمليات استخراج الجذور. ومع ذلك فإنه تمشيا مع المفهوم العام للحساب الذى يختص بإيجاد الكميات المجهولة عدديا من الكميات المعروفة فإن كتب

الحساب تتضمن فى العادة فصولا فى القضايا الجبرية. والحق أن عددا من الرسائل فى الحساب قد انصرفت انصرافا تاما أو يكاد إلى الجبر. والشواهد على ذلك: طرائف الحساب لأبى كامل شجاع بن أسلم المتوفى سنة 287 هـ (900 م، طبعة أحمد سعيد سعيدان: مجلة معهد المخطوطات العربية، جـ 9، سنة 1963. وقد ترجمه إلى الألمانية Bibl.Math: H.Suter، جـ 3/ 2 سنة 1911، ص 100 - 120)؛ والكافى (وقد ترجمه إلى الألمانية A. Hocheim فى ثلاثة أجزاء. هال سنة 1878 - 1880) والبديع (طبعة A.Anbouba، بيروت سنة 1964) والكافى والبديع كلاهما لأبى بكر محمد بن الحسن الكَرجَى المتوفى سنة 390 هـ (1000 م = الكرخى، أنظر Levi Della Vida في Rivistora degli studi orientali، جـ 14 ص 264 وما بعدها؛ Anbouba فى مجلة الدراسات الأدبية، الجامعة اللبنانية بيروت، العددان 1، 2 سنة 1959، ص 73 - 106) و"الباهر فى علم الحساب" للسموأل بن يحيى المغربى المتوفى حوالى سنة 570 هـ (1175 م؛ Anbouba فى مجلة المشرق، سنة 1961، ص 61 - 108). وقد يلاحظ أن هذه الرسائل جميعا تختلف عن الكتب التى تتناول طرائق الحساب الهندى، ذلك أن الأعداد فيها تكتب أساسا بالكلمات، وبالتطبيق لمصطلح "علم حساب النجوم" يمكن القول بأن مصطح "الحاسب" يدل على الفلكى أو المنجم أو العالم بالحساب.

وقد ترجم مقدمة نيقوماخوس إلى العربية ثابت بن قزة الحرّانى المتوفى سنة 288 هـ (901 م كتاب المدخل إلى علم العدد، طبعة. W. Kutsch S.J، بيروت سنة 1959) وسرعان ما حظيت الترجمة بالشهرة التى حظيت بها المقدمة فى العصور القديمة المتأخرة. وعن طريقها عرف علماء الحساب فى الإسلام عرضا منهجيا للعلم الفيثاغورى فى الحساب أى ارتباط الحساب بالموضوعات الأخرى للأسطقسات (الهندسة والفلك والموسيقى) وتصنيف العدد الى تام وزائد وناقص، وكذلك إلى أعداد متحابّة

ومتواليات إلخ. ويظهر تأثير هذا العمل فى كتابات إخوان الصفا إذ تبدأ رسالتهم الأولى بالعدد (الترجمة الإنكليزية بقلم B.Goldstein فى - Centaur us، سنة 1964، ص 129 - 160). وهذه الرسالة ليست فى معظمها إلا شرحا للمقدمة، وهى تستشهد كثيرا بنيقوماخوس وفيثاغورس، ويقول إخوان الصفا: إن الحساب هو المرحلة الأولى فى الطريق إلى الحكمة، وهو دراسة لخواص الأشياء الموجودة بدراسة وحدانيات الأعداد التى تطابق هذه الأشياء: والأشياء الموجودة تتفق وطبيعة الأعداد، بل إننا حين نصنف الأعداد تصنيفا تقليديا كتصنيفها آحاد وعشرات ومئات وآلاف فإن هذا التصنيف يستوحى نمطا كونيا فى الطبيعة، وفى هذه الحالة يكون التصنيف كما يأتى: الطبائع الأربع، فالعناصر الأربعة، والأخلاط الأربعة. والأصل فى العدد الواحد هو الواحد الأحد، وكما أن الأشياء جميعا تصدر عنه فكذلك يكون الواحد هو مبدأ كل الأعداد، ولكنه ليس عددا فى ذاته. ومثل هذه التأملات لا توجد فى الكتابات العلمية الهزيلة فحسب، ذلك أن عمر الخيام أيضا، وهو من أئمة علماء الرياضيات فى الإسلام، كان يرى أن دراسة الرياضيات التى تعد أصفى نواحى الفلسفة، هى الخطوة الأولى فى السلم المؤدى الى المعاد ومعرفة الماهية الحقة للوجود (رسالة فى شرح ها أشكل من مصادرات إقليدس، طبعة عبد الحميد صبرة، الإسكندرية سنة 1961، ص 3، 75). ويجب أن نذكر أن مترجم مقدمة نيقوماخوس كان من أقدر علماء الرياضيات فى القرن الثالث الهجرى (التاسع الميلادى)؛ على أن المرء ليعجب من ندرة ما كتب فى "علم العدد" ذاته. ونحن نجد رسالة موسعة بعض الشئ فى هذا الموضوع وهى "مراسم الانتساب فى علم الحساب" التى كتبها في دمشق يعيش بن إبراهيم بن يوسف الأموى الأندلسى سنة 774 هـ (1373 هـ) وهى تشمل دراسة للأعداد الهرمية (سعيدان فى Islamic Culture، سنة 1965، ص 210، 212). وقد كتب ثابت بن قرّة رسالة قائمة بذاتها عن الأعداد المتحابّة (الترجمة الفرنسية بقلم F. Woepcke فى. Jour. As جـ 20،

سنة 1852، ص 220 - 229). وكذلك فعل كمال الدين الفارسى (انظر بروكلمان، قسم 2، ص 295، رقم 2). وقد رد ثابت بن قرة على الرأى الذى يذهب إلى أن اللانهائى لا يمكن أن يكون أكبر من لا نهائى آخر، فضرب مثل الأعداد ملاحظا أن جنس الأعداد الطبيعية وجنس الأعداد الزوجية كلاهما لا نهائى، على حين أن الجنس الثانى ضعف الأول، ثم قال إن مجموعة لا نهائية من أعداد قد تكون فى الحق جزءا ما فى مجموعة لا نهائية أخرى (المتحف البريطانى، مخطوط، فهرس إضافات المخطوطات الشرقية، رقم 7473، ورقة رقم 14 وجه)(1).

وأول رسالة فى أوائل الحساب الهندى هى رسالة كتبها محمد بن موسى الخوارزمى (حوالى سنة 210 هـ = 825 م) ولم يبق من هذه الرسالة إلا عدد من النقول اللاتينية نقلت عن ترجمة يرجح أنها صنعت فى القرن الثانى عشر الميلادى، وثمة ترجمة من هذه يمثلها مخطوط وحيد من القرن الثالث عشر محفوظ فى كمبردج، ونشر هذا المخطوط أول ما نشر بمعرفة بونكومبانى Trattati d': B.Boncompagni aritmticai Algoritmi de numero indorum رومة 1857، وأعيد تحقيقه على يد Alchwarizmi's Algorismus: K.Vogel آلن سنة 1963) وثمة ترجمة أخرى للرسالة بعنوان Ioanis Hispalensis Liber -Algorismi or Alghoarismi de pratica aris metrice جـ 2، رومة سنة 1857).

ويشرح النقل الأول النسق الوضعى للقيمة العشرية للعد اللفظى، بالرغم من عدم وجود الأرقام الهندية التسعة فى مخطوط كمبردج الذى يستخدم الأرقام الرومانية فحسب. أما الصفر فيمثل

هنا بدائرة صغيرة (Circulus) ووظيفته الإشارة الى مكان خال differentia mansio) (martaba،: Manzila ويطلق النقل الثانى أيضا (Liber Algorismi) اللفظ صفر على ciffre أو siffre أى المكان الخالى: وعند إجراء العمليات الحسابية الأساسية توضع الأرقام الرقم فوق الآخر، ويشرع فى العمل من اليسار، ثم يحدث المحو والنقل للرقوم من مكانها مما يدل على أن العمليات كانت تجرى فوق لوح يعلوه الغبار. ومن أخص ملامح الرسالة أن عمليتى التضعيف والتنصيف كانتا مستقلتين، وهذا النهج ظل الحاسبون العرب يتبعونه حتى عصر الكاشى فى القرن التاسع الهجرى الموافق الخامس عشر الميلادى (وإن لم يتبعه الكرجى وابن البناء حوالى سنة 619 هـ = 1222 م، أو القلصادى المتوفى سنة 882 هـ = 1477 م أو سنة 891 هـ = 1486 م) كما ظل يتبعه كثير من الكتاب فى أوربا حتى القرن السادس عشر.

ومن المقدمات الأولى للحساب على النمط الهندى بقيت مقدمة أبى الحسن كوشيار بن لبان الجيلى وعنوانها "أصول حساب الهند"، وقد صنفها سنة 390 هـ الموافق 1000 م (Principles of Hindu Reckoning، صورة طبق الأصل من النص العربى مع ترجمة إنكليزية بقلم Martin Levey، Marvin Petruckh، Madison and Milwaukee سنة 1965). وهذه المقدمة من جزئين، الأول يقدم التسعة الرقوم مع مبدأ قيمة التواجد العشرى، وتشير دائرة صغيرة (الصفر) إلى خلو عدد من الوضع المكانى (أى المرتبة) الذى يشغله. ثم يبدأ كوشيار فى إجراء الجمع (أى الزيادة) والنقصان (أى عمليات الطرح) والضرب والقسمة. أما عمليتا التضعيف والتنصيف فقد قال إنهما نوعان آخران من الزيادة والنقصان على التوالى. ثم يعقب ذلك طريقة إيجاد الجذر التربيعى (أى الجذر) وينتهى هذا الجزء بفصل قصير عن "الموازين"، وفيه يستخدم ميزان التسعة لمراجعة نتائج عمليات الضرب والقسمة واستخراج الجذر التربيعى. أما الكسور فيعبر عنها هنا مطلقا بالنظام الستينى. فالنصف مثلا

يعبر عنه بثلاثين جزءا من واحد، وعلى ذلك فلتنصيف العدد 5625 تظهر النتيجة كالآتى 2812. وبالمثل فإن باقى عمليات القسمة يضرب 30 فى قوى 60 ثم يقسم على المقسوم عليه. أما الجزء الثانى فقد خصص برمته للتركيب بجدول الستين فى التقدير (وهو يشمل الجذر التربيعى) بمساعدة جداول الضرب للأعداد من واحد الى ستين (وهى مفقودة فى النسخة الباقية). وفى هذه الجداول تتمثل الأعداد بأرقام الأبجد التقليدية. على أن العمليات الحسابية ذاتها تستخدم النظام الوضعى الصرف للعد باستعمال الأعداد التسعة والصفر. أما الفصل الأخير من الرسالة فيوضح عملية استخراج الجذر التكعيبى بالنظام العشرى. وتجرى العمليات الحسابية كلها فى الرسالة على تخت من الغبار وتتضمن المحو والإزاحة للأعداد، والنتيجة النهائية هى فى الإحلال لعدد واحد من الأعداد المعطاة. فإذا أردنا مثلا إيجاد حاصل ضرب العدد 325 × 243 فإن الأرقام الآتية تتتابع بعد أن يحل الواحد محل الآخر على التخت (1):

325 -

6325 - 72325 - 72925 - 77765 - 243 - 243 - 243 - 243 - 243 - 78975 - 343

على أنه حدث قبل زمن كوشيار أن دخلت فى علم الحساب ابتكارات عظيمة المغزى، وهذا ماثل فى "كتاب الفصول فى الحساب الهندى" لأبى الحسن أحمد ابن إبراهيم الإقليدسى، وقد صنفه فى دمشق سنة 341 هـ (952 - 953 م) وهذا الكتاب الهام لم يطبع بعد، إلا أن أحمد سعيد سعيدان قد درسه معتمدا على المخطوط الوحيد المحفوظ فى يكى جامع رقم 802 باستانبول (Isis، عدد 57، ص 475 - 490). وقد طبق الإقليدسى النظام الهندى على حساب العد القديم وعلى النظام الستينى فى الكسور وانبرى يغير طريقة التخت والغبار ويستبدل بها المداد والورق. ولم يقتصر الأمر على ظهور سخف هذه الطريقة بل إن اقتران التخت بالمنجمّين الذين يكتسبون رزقهم باستخراج الطوالع فضلا عما فى عادة محو الغبار باليد من سقم، فقد أصبح هذا التغيير مرغوبا فيه. ومن هنا فإنه من الجدير بالذكر أنه حدث فى نفس القرن الذى عاش فيه الإقليدسى أن كتب أبو الوفاء البوزجانى رسالته فى أصول الحساب ليفيد منها كتاب الحكومة وعمالها ("ما يحتاج إليه الكتاب والعمال من صناعة الحساب" انظر M.Medovoi في Istoriko Matematich eskiye Issledovaniya، جـ 13، سنة 1960، ص 253 - 324)

وقد حرص على تحرير الطرائق الهندية التى كان يستخدمها أحيانا من تخت الغبار والمحو. وزعم الأقليدسى أنه أول من تناول تناولا كافيا الجذر التكعيبى، ولكن أعجب سمة من سمات كتابه شرحه للكسور العشرية وتطبيقها، وهو ابتكار ظل ينسب حتى عهد قريب إلى الكاشى الذى عاش بعده بخمسة قرون. وقد عادت هذه الفكرة الى الظهور بصورة ما فى "تكملة فى علم الحساب" لأبى منصور عبد القاهر البغدادى المتوفى سنة 428 هـ (1037 م) وهو الذى عبر عن العدد 17،28 بالترتيب (انظر سعيدان فى مجلة Isis، الموضع (17، 02، 08) المذكور ص 487 - 488 وفى Islamic Culture، عدد 39، سنة 1965، ص 210، 220) على أن هذا الابتكار قد ضاع بصفة عامة فيما يظهر حتى جاء الكاشى بعد الإقليدسى بخمسة قرون فعاد إلى استحداث "الكسور العشرية" فى كتابه "مفتاح الحساب" معتبرا ذلك كشفا جديدا اهتدى إليه بالقياس على النظام الستينى (صورة طبق الأصل من النص العربى مع ترجمة وتعليق باللغة الروسية بقلم V.Segal، B. Rozenfeld، A.Yushkevich موسكو سنة 1956)(1)

وعلى حين أدرك الكاشى أهمية الكسور العشرية أكثر بكثير من إدراك الإقليدسى فإن الإقليدسى قد استخدم علامة عشرية هى نقطة فوق العدد مكان الوحدات، وهى طريقة تفوق طريقة الكاشى فى الدلالة على الجزء العشرى مثلا بكتابته بلون مخالف أو

فى عمود أو أعمدة غير عمود أو أعمدة الجزء الصحيح.

وهناك سمة تميز الكتب التى تتناول الحساب الهندى هى استخدام الأرقام العربية التى أصبحت تقليدا رسّخه العلماء العرب فى القرون الوسطى على اعتبار أن أصل هذه الأرقام هندى. صحيح أن هذه النسبة إلى الهند قد أصبحت الآن موضع اعتراف الجميع، إلا أن المنبع الأساسى لهذه الأرقام وطريقة انتشارها وتطورها فى العالم الإسلامى وفى أوربا ظل موضوعًا للمناقشة بالرغم من البحوث المستفيضة التى قام به فوبكه Woepcke وسميث Smith وكاربنسكى Carpinski وكاراده فو Carra de Voux وكاندز Gandz وكثير غير هؤلاء. وقد بقيت الأعداد فى العالم الإسلامى وظلت باقية فى صورتين على الأغلب: الصورة الأولى فى الشرق، والصورة الثانية فى الغرب. وقد جرت العادة بأن يطلق على الأعداد الشرقية اسم "الهندية"، على حين أطلق على الأخرى التى هى الأصل المباشر للأعداد الأوربية الحديثة اسم حروف "الغبار". على أنه يحدث أحيانا أن تنعكس هذه التسمية (انظر F. Woepcke & A. Marre فى - Atti dell' Ac cademia pontificia de'Nuovi Lincei المجلد 19. السنة التاسعة عشرة، سنة 1866). أو تستعمل الصفتان كلتاهما للدلالة على الأعداد الشرقية والأعداد الغربية، فابن الهائم المتوفى سنة 815 هـ (1412 م) فى كتابه "مرشدة الطالب الى أسنى المطالب" قد عاد إلى استخدام الأعداد الشرقية والأعداد الغربية وأسماهما الاثنتين الأعداد الهندية. وثمة ملاحظة على هامش مخطوط من المخطوطات تنكر هذه التسمية بالنسبة للأعداد الغربية وتزعم أنها من أصل رومى وتسمى هذه الأعداد وتلك أعداد "الغبار"(مخطوط بمكتبة جامعة برنستون 3940، وتاريخه 981 هـ = 1573، ورقة رقم 1 وجه) ويجب أن نبحث هذا الزعم مرتبطا بالنظرية التى قدمها فوبكه وأيدها كاندز وهى تقول إن أرقام الغبار نشرها القائلون بالأفلاطونية الحديثة وأن العرب عرفوها عن طريق

الرومان. أما فيما يختص بالنمط الغربى للأعداد فإن يحيى بن تقى الدين ابن إسماعيل الحلبى (حوالى سنة 1019 هـ = 1610 م) يقول فى كتابه "مسلك الطلاب فى شرح نزهة الحساب" إن هذه هى الغبارية ويقال لها أيضا الهندية، ولكن استعمالها غلب بين أهل المغرب وبين من اتبعوهم (مخطوط مكتبة جامعة برنستون رقم 3407 وتاريخه 1037 هـ = 1627 - 1628، ورقة رقم 82 ظهر).

وكان كلا النمطين من الأعداد معروفا للعرب قبيل سنة 733 م إن لم يكن أقدم من ذلك، على أنه يمكن أن نلاحظ أنه ما من أحد حتى اليوم قد وجد فى الرسائل العربية عن الحساب أية إشارة إلى مؤلفين من الهنود أو أسماء كتب هندية، والأمر على خلاف ذلك فى الكتابات العربية فى الفلك. زد على ذلك أن هذه الرسائل ليس فيها أى أثر للتقسيم الهندى للحساب إلى نحو من عشرين عملية، وإنما هى أجنح إلى أتباع التقسيم الرومى المألوف، وهى فى تسميتها للقوى التى تعلو التربيع والتكعيب فإنها تأخذ بالجمع على غرار ما نجده عند ديوفنطس، ولا تأخذ بالضرب كما هو الحال فى مألوف الطريقة الهندية. ذلك أنها تعبر عن القوى السادسة مثلا بـ "كعب الكعب" (باليونانية كوبسكوبوس) ولا تقول "مربع الكعب" أو "مكعب التربيع" (انظر Alegbra from the: H.T. Colebrooke Sanscrit لندن سنة 1917، ص 12) ومن جهة أخرى نجد أن عبارة "حساب التخت والتراب" هى المرادف الواضح للسنسكريتية "باطيكنتا" و"دهولى كرما" History of Hindu: Datta & Singht Mathematics جـ 1، ص 123 - 124). وهناك نظير فى الاستعمال السنسكريتى للقول "الجمع والتفريق"(أو "الضم والتفريق" بعبارة ابن خلدون) وهما اصطلاحان يدلان دائما فى الرسائل الباقية على الجمع والطرح، ويمكن أن يدلا أيضا على علم الحساب برمته (المصدر نفسه، ص 130، وانظر أيضا J.Ruska فى sb. Heid. Ak. Wiss phil hist. Kl.-، سنة 1917، ص 14 - 21) ومن هنا جاء تعريف الحساب فى

إخوان الصفا بأنه "جمع العدد وتفريقه". ويروى أن الخوارزمى كتب كتابا فى "الجمع والتفريق"، ومن الجائز أنه لم يقتصر على العمليات الأولية من جمع وطرح.

وساد العالم الاسلامى قبل انتشار الطرائق الهندية فى الحساب ضرب من الحساب سماه الإقليدسى "حساب الروم والعرب". وقد وضعت الكتب التى تتناول هذا الحساب (مثل رسالة البوزجانى التى أشرنا إليها آنفا) قواعد لإجراء العمليات الحسابية تشمل تعيين الجذور التربيعية على نحو تقريبى، وقد جرى الأمر على أن تجرى هذه العمليات فى الذهن، والنتائج الجزئية التى تتحصل فى عملية الوصول إلى الحل النهائى لمسألة من المسائل كانت تستذكر بعقد الأصابع فى أوضاع معينة. وهذه السمات هى التى جعلت هذا الحساب يسمى "حساب اليد" و"حساب العقود" و"الحساب الهوائى". وعند التعامل مع الكسور فإن حساب اليد يأخذ بالنظام الستينى، أو يقوم بتحويل الكسور إلى أجزاء من وحدات القياس المحلية من عملات نقدية أو مقاييس (1). وثمة نظام آخر يستعمله هذا الحساب مستوحى فيما يظهر من خصائص تتميز بها اللغة العربية، وبمقتضى هذا النظام يعبر عن الكسور 1/ 3، 1/ 4 .. 1/ 10 فحسب بكلمات مشتقة من مقاماتها (الثلث عن ثلاثة وهكذا، أما النصف فلا يشتق من اثنين ومن ثم يطلق عليه "الموضوع" وهو ما جرى به العرف).

هذا ويمكن تحويل بعض الكسور إلى كسور مساعدة مشتقة من المجموعة الأولى، فمثلا الكسر 1/ 12 هو نصف السدس. أما الكسور الأخرى مثل 1/ 11، 1/ 13 فلا يمكن التعبير عنها على هذا النحو، ولهذا فإنه يطلق عليها وعلى مقاماتها التسمية "أصم". وبهذا المفهوم قال إخوان الصفا عن العدد 11 إنه أول الأعداد الصماء. وللتعبير عن

الكسر 1/ 11 يقال: جزء واحد من أحد عشر. وفى بعض النصوص الأخرى استعمل اللفظ "أصم" للدلالة على كلمة "أرتيوس" عند إقليدس فى إطلاقها على العدد مثل 2 الذى لا يمكن القول بأنه النسبة بين عددين مجردين.

وقد ظلت الرسائل فى حساب العدد تصنف حتى بعد أن تبينت فوائد الحساب الهندى، وكان الهدف العام للحسّاب العرب بل ربما كان أهم ما حققوه هو صهر الطرائق المختلفة المتاحة لهم فى بوتقة واحدة لإيجاد نسق واحد للحساب يقوم على التطبيق المناسب للنظام العشرى مع استخدام الأعداد الهندية. وكانت إحدى هذه الطرائق هى الجداول الستينية القديمة التى تأثر بها العرب تاثرا قويا فى كتبهم عن الحساب بفضل ترجمة المؤلفات الإغريقية فى الفلك على أننا نجد مرة أخرى أن الطرائق الستينية فى الحساب هى وحساب الجمل الذى اقترن بها ظلت مستعملة فى جميع الأحوال عند علماء الفلك المسلمين. وبفضل هذه الحقيقة نكاد لا نجد رسالة مهمة فى الحساب العربى إلا وأفردت فصلا تتناول فيه المنهج الستينى، ويقال كذلك أحيانا "حساب المنجمين" و"حساب الزيج" أو "حساب الدَرَج والدقائق". وثمة رسالة متأخرة، وإن تكن شاملة، انصرفت إلى الكلام على هذا المنهج هى "رقائق الحقائق فى معرفة الدرج والدقائق لسبط الماردينى المتوفى بعد عام 891 هـ (1486 م) وفيها ذكر المؤلف أن الكتاب الوحيد المناسب فى الحساب الستينى فيما شاهده هو رسالة لشيخه شهاب الدين أحمد بن المجدى (مكتبة جامعة برنستون، مخطوط رقم 3325، ورقة 1 وجه).

وفى الكتب العربية عن الحساب تحل "الموازين"(1) محل البراهين عينها،